Question

2．以C（4，-2）为顶点的抛物线交y轴于点A（0，1），过点A平行于x轴的直线交抛物线于点B，交抛物线对称轴于点E．
（1）求抛物线解析式和对称轴
（2）如果动点P从点A沿线段AC方向以每秒4个单位的速度向点C运动，同时动点Q从点C沿线段CB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，当其中一个到达终点时，另一个随之停止，连接PQ，PE，EQ，设运动时间为t秒．
①求当△APE为等腰三角形时t的值；
②是否存在某个时刻，使得点E到三边AC，PQ，CB的距离相等？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设顶点解析式为y=a（x-4）²-2，根据待定系数法可得抛物线解析式，进一步得到对称轴；
（2）①分PA=PE，AP=AE，EA=EP三种情况讨论可求当△APE为等腰三角形时t的值；
②分EP是∠AEQ的平分线，EQ是∠BEP的平分线两种情况讨论可求使得点E到三边AC，PQ，CB的距离相等时t的值．

解答 解：（1）设解析式为y=a（x-4）²-2，
代入得16a-2=1，
16a=3，
a=$\frac{3}{16}$．
解析式为$y=\frac{3}{16}{（x-4）^2}-2$，
对称轴为直线x=4；
（2）①PA=PE时，t=$\frac{5}{8}$，
AP=AE时，t=1，
EA=EP时，t=$\frac{8}{5}$；
②EP是∠AEQ的平分线时t=$\frac{5}{12}$，
EQ是∠BEP的平分线时t=3．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，注意分类思想的应用．