Question

已知，如图抛物线y=ax2＋3ax＋c（a>0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1,0），OC=3OB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=x2+x-3；（2）；（3）P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）．

【解析】

试题分析：（1）已知B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．

（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．

（3）本题应分情况讨论：

①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；

②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．

试题解析：（1）∵B（1，0），

∴OB=1；

∵OC=3BO，

∴C（0，-3）；

∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），

∴；

解这个方程组，得

∴抛物线的解析式为：y=x2+x-3

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N

在y=x2+x-3中，令y=0，

得方程x2+x-3=0

解这个方程，得x1=-4，x2=1

∴A（-4，0）

设直线AC的解析式为y=kx+b

∴

解这个方程组，得

∴AC的解析式为：y=-x-3（3分）

∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC

=•DM•（AN+ON）

=•DM

设D（x，x2+x-3），M（x，-x-3）

DM=-x-3-（x2+x-3）=- （x+2）2+3

当x=-2时，DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值

（3）如图所示，

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形

∵C（0，-3）

∴设P1（x，-3）

∴x2+x-3=-3

解得x1=0，x2=-3

∴P1（-3，-3）；

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C（0，-3）

∴设P（x，3），

∴x2+x-3=3

x2+3x-8=0

解得或，

此时存在点P2（，3）和P3（，3）

综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）．

考点：二次函数综合题．