题目内容
如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是AB上任意一点，过P作PE⊥BC于E；过E作EF⊥AC于F；过F作FQ⊥AB于Q．设BP=x，AQ=y，用含x的式子填空，并解答有关问题．
（1）根据题意可得，BE=
BP，∴BE=
，∴EC=
又FC=EC，∴FC=______，∴AF=4-FC=______
又AQ=AF，∴AQ=______，
∴y与x之间的函数关系式为______
（2）当AQ=1.2时，求BP的长度；
（3）当BP的长度等于多少时，点P与点Q重合？
解：（1）∵PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，∴∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，
∵AB=4，∴FC=EC，∴FC=2-
，∴AF=4-FC=2+，
又AQ=AF，∴AQ=1+
，
∴y与x之间的函数关系式为y=1+；
（2）当AQ=1.2时，即y=1.2时，1.2=1+，解得x=1.6，
∴当AQ=1.2时，求BP的长度为1.6；
（3）∵点P与点Q重合，∴x+y=4，∴x+1+=4，解得x=
，
∴当BP的长度等于时，点P与点Q重合．
分析：（1）正三角形的每一个角等于60°，再由垂直，得出∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，据此推出答案．
（2）（3）代入数据进行计算即可．
点评：本题是一个综合题，难度不大，主要考查在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
∵AB=4，∴FC=
EC，∴FC=2-，∴AF=4-FC=2+，又AQ=
AF，∴AQ=1+，∴y与x之间的函数关系式为y=1+
；（2）当AQ=1.2时，即y=1.2时，1.2=1+
，解得x=1.6，∴当AQ=1.2时，求BP的长度为1.6；
（3）∵点P与点Q重合，∴x+y=4，∴x+1+
=4，解得x=，∴当BP的长度等于
时，点P与点Q重合．分析：（1）正三角形的每一个角等于60°，再由垂直，得出∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，据此推出答案．
（2）（3）代入数据进行计算即可．
点评：本题是一个综合题，难度不大，主要考查在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
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