Question

5．在△ABC中，AD平分∠BAC或∠BAC的外角，交BC边所在的直线于点D，过点C作CM⊥AD，垂足为点M，已知AB=AD．
（1）当AD平分∠BAC时（如图1），求证：AC-AB=2DM；
（2）当AD平分∠BAC的外角时（如图2），猜想线段AC、AB、AM之间的数量关系，并加以证明；
（3）当AD平分∠BAC的外角（如图3），猜想线段AC、AB、AM之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长CM、AB交于点G，作MN∥AG交BC于点N．只要证明AG=AC、DM=MN，MN是△BCG的中位线即可解决问题．
（2）如图2中，结论：AB2AC=2AM．延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N．证明方法类似．
（3）如图3中，结论：AC-AB=2AM．延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N．证明方法类似．

解答 （1）证明：如图1中，延长CM、AB交于点G，作MN∥AG交BC于点N．

∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠G+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°
∵∠GAM=∠CAM，
∴∠G=∠ACM，
∴AC=AG，∵AM⊥CG，
∴GM=MC，∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABD=∠MND，∠ADB=∠MDN，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC-AB=AG+AB=BG，
∴AC-AB=2DM．

（2）如图2中，结论：AB-AC=2AM．

理由：延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠AGM+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°
∵∠GAM=∠CAM，
∴∠AGM=∠ACM，
∴AC=AG，∵AM⊥CG，
∴GM=MC，∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠ABD=∠MND，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC+AB=AG+AB=BG，
∴AC+AB=2DM．
∵DM=AD-AM=AB-AM，
∴AC+AB=2（AB-AM），
∴AB-AC=2AM．

（3）如图3中，结论：AC-AB=2AM．

理由：延长CM、BA交于点G，作MN∥AB交BC于点N．
∵AM⊥CG，
∴∠AMG=∠AMC=90°，
∴∠G+∠GAM=90°，∠ACM+∠CAM=90°
∵∠DAB=∠DAP，∠DAB=∠GAM，∠DAP=∠CAM，
∴∠GAM=∠CAM，
∴∠AGM=∠ACM，
∴AC=AG，∵AM⊥CG，
∴GM=MC，∵MN∥BG，
∴BN=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$BG，即BG=2MN，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠ABD=∠MND，
∴∠MND=∠MDN，
∴DM=MN，
∴BG=2DM．
∵AC+AB=AG+AB=BG，
∴AC+AB=2DM，
∵DM=AD+AM=AB+AM，
∴AC+AB=2（AB+AM），
∴AC-AB=2AM．

点评 本题考查三角形综合题、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、平行线性质，平行线等分线段定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，理由三角形中位线定理解决问题，属于中考压轴题．