Question

20．已知二次函数y=x²-4x+3．
（1）求函数图象的对称轴、顶点M坐标、与x轴交点A，B的坐标，与Y轴交点C的坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为1？若存在，直接写出P的坐标．

Answer 1

分析 （1）二次函数解析式配方后，找出对称轴及顶点M坐标，令y=0求出x的值确定出A与B的坐标；令x=0求出y的值，确定出C坐标，画出大致图象即可；
（2）由题意找出y为负数时，自变量x的范围即可；
（3）存在，设P纵坐标为y，根据三角形ABP面积为1，求出y的值，确定出P坐标即可．

解答 解：（1）二次函数y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
则函数图象的对称轴为直线x=2，顶点M（2，-1），与x轴交点A（1，0），B（3，0），与y轴交点C（0，3），
如图所示：
；
（2）由图象得：当y＜0时，x的范围为1＜x＜3；
（3）在抛物线上存在点P，使三角形ABP的面积为1，
∵AB=3-1=2，△ABP面积为1，
∴设P纵坐标为y，即$\frac{1}{2}$×1×|y|=1，
解得：y=2或-2，
把y=2代入抛物线解析式得：x²-4x+3=2，即x²-4x+1=0，
解得：x=$\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$=2±$\sqrt{3}$，此时P（2+$\sqrt{3}$，2）或（2-$\sqrt{3}$，2）；
把y=-2代入抛物线解析式得：x²-4x+3=-2，无解，
则满足题意P的坐标为（2+$\sqrt{3}$，2）或（2-$\sqrt{3}$，2）．

点评 此题考查了二次函数的图象，性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．