Question

9．已知y=a（x+1）（x-3）与x轴交于A、B两点，A在B左侧，且函数有最小值，顶点为M，若△AMB为等腰直角三角形，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 由题意可知A（-1，0）、B（3，0），根据对称轴x=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{1}}{2}$求得顶点横坐标，根据函数与x轴交于A、B两点，且函数有最小值可知顶点在x轴的下方，根据等腰三角形的性质求得顶点的纵坐标，把顶点坐标代入y=a（x+1）（x-3）即可求得a的值．

解答 解：由题意可知A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4，对称轴x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∵△AMB为等腰直角三角形，且函数有最小值，
∴顶点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$AB=-2，
∴顶点坐标为（1，-2），
代入y=a（x+1）（x-3）得，-2=-4a，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式是y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，求得顶点坐标是解题的关键．