Question

6．已知如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，求证：AE=EF．

Answer 1

分析 截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可．

解答 证明：在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出△AME≌△ECF．