Question

9．问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）填空：∠AEB的度数为60°；
拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．

Answer 1

分析 （1）先证出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出AD=BE；
（2）由（1）证得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通过等量代换得到∠DCB=∠EBC，由内错角相等得到CD∥BE，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因为点A，D，E在同一直线上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，然后又直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）由（1）证得△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB，
∴∠DCB=∠EBC，
∴CD∥BE，
∴∠AEB=∠CDE=60°．
故答案为：60°；

（3）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
∵∠AEB=∠ACB=90°，
∴CM=EM=$\frac{1}{2}$AB，
即CM=EM．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．