Question

如图所示，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，切点为A、B、C，它们的半径为r₁、r₂、r₃．
（1）若△O₁O₂O₃是直角三角形，r₂：r₃=2：3，用r₂表示r₁；
（2）若△O₁O₂O₃与以A、B、C为顶点的三角形相似，求r₁、r₂、r₃必须满足什么条件，并加以证明．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：（1）因为△O₁O₂O₃是直角三角形，根据⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，得出三边的长度，结合斜边的情况，利用勾股定理用r₂表示r₁；
（2）r₁=r₂=r₃时，△O₁O₂O₃与以A、B、C为顶点的三角形相似．

解答：解：（1）圆心距分别为r₁+r₂，r₁+r₃，r₂+r₃，r₂：r₃=2：3，
有r₃=1.5r₂，r₁＞r₃时，
（r₁+r₂）²=（r₁+r₃）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=-7.5r₂（不合题意，舍去），
r₁≤r₃时，（r₁+r₃）²=（r₁+r₂）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=5r₂；

（2）r₁=r₂=r₃时，△O₁O₂O₃与以A、B、C为顶点的三角形相似，
∵r₁=r₂=r₃，
∴AB=

1

2

O₁O₃，AC=

1

2

O₂O₃，CB=

1

2

O₂O₁，
∴△O₁O₂O₃∽△CAB为顶点的三角形相似．

点评：本题考查了三圆两两外切的函数问题，同时考查了勾股定理，及三角函数的知识．