Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=3，∠ABC的平分线交半圆于D，AD，BC的延长线交于E，则四边形ABCD的面积是△DCE面积的（　　）

• A、7倍
• B、8倍
• C、3倍
• D、4倍

Answer 1

分析：连OC，AC，先由DB平分∠ABC，可得到OD∥BE，则OD为△ABC的中位线，OD=

1

2

AB=

1

2

×4=2，EC=1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC=

42-32

=

7

，从而在Rt△ACE中，利用勾股定理得到AE=

( 7 )2+12

=2

2

，然后利用△EDC∽△EBA得到它们的面积比，最后得四边形ABCD的面积与△DCE面积的数量关系．

解答：解：连OC，AC，如图，
∵DB平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
而∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BE，
而O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴BE=4，则EC=4-3=1，
由AB是直径，所以∠ACB=90°，
∴AC=

42-32

=

7

，
∴AE=

( 7 )2+12

=2

2

，
又∵∠EDC=∠ABE，
∴△EDC∽△EBA，
∴S_△EDC：S_△EBA=（

EC

EA

）²=（

1

2 2

）²=

1

8

，
所以S_△EDC：S_{四边形ABCD}=1：7，
故选A．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度，