Question

18．已知，正方形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点B的坐标为（10，10），
（1）直接写出点A、C的坐标为：A（10，0）；C（0，10）；
（2）已知直线AC与双曲线$y=\frac{m}{x}（m≠0）$在第一象限内有一点交点Q为（4，n）；
①求m及n的值；
②若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式？

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可直接得出A、C两点的坐标；
（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把Q（4，n）代入求出n的值，进而可得出m的值；
②分0＜t＜5与5＜t＜10两种情况得出三角形的面积即可．

解答 解：（1）∵四边形OABC是正方形，点B的坐标为（10，10），
∴A（10，0），C（0，10）．
故答案为：10，0；0，10；

（2）①设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（10，0），C（0，10），
∴$\left\{\begin{array}{l}10k+b=0\\ b=10\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=10\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x+10．
∵Q（4，n），
∴-4+10=n．解得n=6．
∴Q（4，6）．
∵点Q在反比例函数y=$\frac{m}{x}$上，
∴6=$\frac{m}{4}$，解得m=24；
②∵Q（4，6），OA=OC=10，
∴当0＜t＜5时，S_△OPQ=$\frac{1}{2}$（10-t）×6=30-3t；
当5＜t＜10时，S_△OPQ=$\frac{1}{2}$（20-t）×4=40-2t．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、三角形的面积公式及正方形的性质是解答此题的关键．