Question

12．如图，△ABC中，D为BC上一点，F为AB中点，过A作BC的平行线交DF的延长线于E点，且四边形AEDC为平行四边形．
（1）求证：BD=CD；
（2）当∠ADE=∠BDE时，证明四边形ADBE为菱形．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△AEF≌△BDF，得出AE=BD，EF=DF，由平行四边形的性质得出AE=DC，即可得出结论；
（2）先证出AE=AD，再证明四边ADBE是平行四边形，即可得出四边形ADBE为菱形．

解答 （1）证明：∵F为AB中点，
∴AF=BF，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠DBF．
在△AEF和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠DBF}&{\;}\\{AF=BF}&{\;}\\{∠AFE=∠BFD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BDF（ASA），
∴AE=BD，EF=DF，
∵四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=CD，
∴BD=CD；

（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠AED=∠BDE，
∵∠ADE=∠BDE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
由（1）得：AF=BF，EF=DF，
∴四边ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE为菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．