Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图，易证EG＝CG且EG⊥CG．

(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)EG＝CG　EG⊥CG(2分) 　　(2)EG＝CG　EG⊥CG(2分) 　　证明：延长FE交DC延长线于M，连MG 　　∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90° 　　∴四边形BEMC是矩形． 　　∴BE＝CM，∠EMC＝90° 　　又∵BE＝EF 　　∴EF＝CM 　　∵∠EMC＝90°，FG＝DG 　　∴MG＝FD＝FG 　　∵BC＝EM，BC＝CD 　　∴EM＝CD 　　∵EF＝CM 　　∴FM＝DM 　　∴∠F＝45° 　　又FG＝DG 　　∵∠CMG＝∠EMC＝45° 　　∴∠F＝∠GMC 　　∴△GFE≌△GMC 　　∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC(2分) 　　∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG 　　∴MG⊥FD 　　∴∠FGE＋∠EGM＝90° 　　∴∠MGC＋∠EGM＝90° 　　即∠EGC＝90° 　　∴EG⊥CG(2分)