如图.在平面直角坐标系中.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C(0.8).直线l经过原点O.与抛物线的一个交点为D(6.8)．(1)求抛物线的解析式,(2)抛物线的对称轴与直线l交于点E.点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．①当∠TEC=∠TEO时.求点T的坐标,②直线BT与y轴交于点P.与直线l交于点Q.当OP=OQ时.求点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+3x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8），直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D（6，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线l交于点E，点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．
①当∠TEC=∠TEO时，求点T的坐标；
②直线BT与y轴交于点P，与直线l交于点Q，当OP=OQ时，求点P的坐标．

分析（1）由C、D坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可先求得抛物线的对称轴和直线l的解析式，则可求得E点坐标，由条件可证得TE∥x轴，则可求得T点纵坐标，代入抛物线解析式，可求得T点坐标；②过E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，利用平行线分线段成比例可求得OF=OE，可求得F点坐标，则可求得直线EF的解析式，则可设出直线PB的解析式，把B点代入可求得直线PB解析式，可求得P点坐标．

解答解：
（1）把C、D两点的坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{36a+18+c=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8；
（2）①∵y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{25}{2}$，
∴抛物线对称轴为x=3，

设直线l解析式为y=kx，
把D（6，8）代入可得8=6k，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
∴E（3，4），
∵O（0，0），C（0，8），
∴OE=CE，
∴点E在线段OC的垂直平分线上，
∵∠TEC=∠TEO，
∴TE∥x轴，
∴T的纵坐标为4，
在y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8中，令y=4可得4=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8，解得x=3+$\sqrt{17}$或x=3-$\sqrt{17}$，
∴T的坐标为（3+$\sqrt{17}$，4）或（3-$\sqrt{17}$，4）；
②在y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8中，令y=0可得0=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8，解得x=-2或x=8，
∴B（8，0），
∵E（3，4），
∴OE=5，
如图2，过点E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，

∴$\frac{OP}{OF}$=$\frac{OQ}{OE}$，
∵OP=OQ，
∴OF=OE=5，
∴F（0，5），
∴可设直线PB的解析式为y=kx+5，
把E点坐标代入可得4=3k+5，解得k=-$\frac{1}{3}$，
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+5，
∴可设直线PB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+m，
把B点坐标代入可得0=-$\frac{1}{3}$×8+m，解得m=$\frac{8}{3}$，
∴P点坐标为（0，$\frac{8}{3}$）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的性质、平行线分线段成比例等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得E点的纵坐标是解题的关键，在②中求得F点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

	A．	1月份商场服装部的销售额是22万元
	B．	3月份商场服装部的销售额比2月份减少了
	C．	4月份商场的商品销售额是75万元
	D．	5月份商场服装部的销售额比4月份减少了

用电量（度）	140	160	180	200
户数	1	3	4	2

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