Question

3．抛物线y=-x²+bx+c过点A（0，3），和点B（1，4）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的图象与x轴的左交点为C，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标．
注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-$\frac{b}{2a}$，顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3），B（1，4）代入y=-x²+bx+c得到关于b和c的方程组，解方程组求出b和c的值，即可得到抛物线解析式；
（2）存在，由抛物线的对称性可求出点C关于对称轴的对称点C′，连接AC′交对称轴于P，则点P为所求，易求直线AC′的解析式，当x=1时求出对应y的值，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）把A（0，3），B（1，4）代入y=-x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{3=c}\\{4=-1+b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）存在，
∵y=-x²+2x+3，
∴当y=0时，x=-1或3，
∵点C的坐标为（-1，0）
∴C点关于对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1的对称点为3，即C′的坐标（3，0），
∴当直线AC′与x=1的交点即为P，
直线AC′可求得y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴P点为（1，2）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，正确找到点P的位置是解题关键．