Question

18．如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A在y轴上，端点B在x轴上，BF平分∠ABO并与△ABO的外角平分线AE所在的直线交于点F．
（1）求∠F的大小；
（2）当点A、点B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上移动时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义即可得出∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABO、∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAG，再根据三角形的外角的性质即可得出∠F=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°；
（2）根据角平分线的定义即可得出∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABO、∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAG，再根据三角形的外角的性质即可得出∠F=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°．

解答 解：（1）∵BF平分∠ABO，∠AE平分∠BAG，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABO，∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAG，
∵∠BAG=∠ABO+∠AOB，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠AOB）=∠F+∠ABF，
∴∠F=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°．
（2）（1）中结论成立，理由如下：
∵BF平分∠ABO，∠AE平分∠BAG，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABO，∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAG，
∵∠BAG=∠ABO+∠AOB，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠AOB）=∠F+∠ABF，
∴∠F=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°．

点评 本题考查了角平分线的定义以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）找出∠F=$\frac{1}{2}$∠AOB；（2）找出∠F=$\frac{1}{2}$∠AOB．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时熟练掌握三角形的外角性质是关键．