Question

17．如图1，正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴上，点C在y轴上，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2过C，E两点，与AB的交点为K．
（1）求线段CK的长度；
（2）点P为EC线段下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线与EC线段交于点Q，当线段PQ最长时，在y轴上找一点F使|PF-DF|的值最大，求符合题意的F点坐标；
（3）如图2，DE与AB交于点G，过点B作BH⊥CD于点H，把△BCH沿射线CB的方向以每秒1个单位长度的速度向右平移．平移过程中的三角形记为△B′C′H′，当点H′运动到四边形HDEB的外部时运动停止，设运动时间为t（t＞0），△B′C′H′与△BEG重叠部分的面积为S，写出S关于t的函数关系式及自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EM⊥x轴于M．首先证明△COD≌△MDE，推出E（3，1），求出直线CE的解析式即可即可问题．
（2）如图2中，设P（m，$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2）则Q（m，-$\frac{1}{3}m$+2）．构建二次函数，求出PQ最大时，点P坐标，延长PD交y轴于F，此时|PF-DF|的值最大，
（3）分三种情形①如图3中，当0≤t≤$\frac{8}{5}$时，重叠部分是△BMN；②如图4中，当$\frac{8}{5}$＜t≤2时，重叠部分是四边形BMH′N；③如图5中，当2＜t≤$\frac{14}{5}$时，重叠部分是△MNH．构建一次函数，利用方程组求出关键点的坐标，求出面积即可．

解答 解：（1）如图1中，作EM⊥x轴于M．

∵抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2过C，
∴C（0，2），
∴OA=AB=BC=OC=2，
∵OD=DA，
∴OD=OA=1，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=∠EMD=∠COD=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠CDO=∠DEM，∵DC=DE，
∴△COD≌△MDE，
∴EM=OD=2，OC=DM=2，
∴E（3，1），
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2，
∴点K坐标（2，$\frac{4}{3}$），
∴CK=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．

（2）如图2中，设P（m，$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2）则Q（m，-$\frac{1}{3}m$+2）．

∴PQ=-$\frac{1}{3}$m+2-（$\frac{1}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2）=-$\frac{1}{3}$m²+m=-$\frac{1}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{12}$，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，PQ的值最大，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），
延长PD交y轴于F，此时|PF-DF|的值最大，
∵直线PD的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
∴点F坐标（0，-$\frac{3}{2}$）．

（3）①如图3中，

∵C（0，2），D（1，0），
∴直线CD的解析式为y=-2x+2，
∵BH⊥CD，B（2，2），
∴直线BH的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴CH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，BH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵B′（2+t，2），B′H′∥BH，
∴直线B′H′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1-$\frac{1}{2}$t，
∴M（2，2-$\frac{1}{2}$t），BM=2-（2-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}t}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}t+2}\\{y=-\frac{1}{3}t+2}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{1}{3}$t+2，-$\frac{1}{3}t+2$），
当H′在AB时时，2-$\frac{1}{2}$t=$\frac{6}{5}$，
∴t=$\frac{8}{5}$，
∴当0≤t≤$\frac{8}{5}$时，重叠部分是△BMN，S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$t•$\frac{1}{3}$t=$\frac{1}{12}$t²．

②如图4中，当$\frac{8}{5}$＜t≤2时，重叠部分是四边形BMH′N，

∵直线C′H′的解析式为y=-2x+2+2t，
∴M（2，-2+2t），
S=S_{△B′C′H′}-S_△BMC′-S_△BB′N=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-$\frac{1}{2}$•（4-2t）•（2-t）-$\frac{1}{2}$•t•[2-（-$\frac{1}{3}$t+20]=-$\frac{7}{6}$t²+4t-$\frac{16}{5}$．
③如图5中，当2＜t≤$\frac{14}{5}$时，重叠部分是△MNH．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2+2t}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2t-2}\\{y=6-2t}\end{array}\right.$，
∴M（2t-2，6-2t），∵N（$\frac{1}{3}$t+2，-$\frac{1}{3}$t+2），H′（$\frac{2}{5}$+t，$\frac{6}{5}$），
∴S=$\frac{1}{2}$•H′M•H′N=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（t-\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}-2t）^{2}}$•$\sqrt{（\frac{2}{3}t-\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{1}{3}t-\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{5}{6}$t²-4t+$\frac{24}{5}$（0＜t$≤\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、面积问题，最值问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考压轴题．