Question

17．如图，点G是△ABC的重心，过G作GE∥AB，交BC于E，GF∥AC，交BC于F，则S_△GEF：S_△ABC=1：9．

Answer 1

分析 连结AG，并延长交BC于H，如图，根据三角形重心的性质得到HG=$\frac{1}{2}$AG，则HG=$\frac{1}{3}$HA，再由EG∥AB得到△HGE∽△HAB，根据相似三角形的性质得$\frac{GE}{AB}$=$\frac{HG}{HA}$=$\frac{1}{3}$，接着证明△GEF∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：连结AG，并延长交BC于H，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴HG=$\frac{1}{2}$AG，
∴HG=$\frac{1}{3}$HA，
∵EG∥AB，
∴△HGE∽△HAB，
∴$\frac{GE}{AB}$=$\frac{HG}{HA}$=$\frac{1}{3}$，
∵EG∥AB，GF∥AC，
∴∠GEF=∠B，∠GFE=∠C，
∴△GEF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{GE}{AB}$）²=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$．
故答案为1：9．

点评 本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．