Question

5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠E=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=AB，即可证得∠B=∠D，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，根据勾股定理即可得（x-2）²+x²=4，继而求得BC的长，又可证得CE=CB=CD，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DC=CB
∴AD=AB，
∴∠B=∠D，
∵∠E=∠B，
∴∠D=∠E；

（2）解：设BC=x，则AC=x-2．
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（x-2）²+x²=4，
解得：x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB
∴CE=CB=1+$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．