Question

如图①，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
探究一：猜想图①中线段 EF与BE、CF间的关系并证明．
探究二：设AB=8，AC=6，求△AEF的周长．
探究三：如图②，若△ABC中∠B的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于O，过O点作EF∥BC交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF的关系又如何？并说明理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：探究一：可利用平行和角平分线得到BE=OE，OF=CF，可得出结论EF=BE+CF；
探究二：利用探究一的结论，EF=BE+CF可知三角形的周长为AB+AC；
探究三：可利用类似探究一的方法得到结论BE=EF+CF．

解答：解：探究一：
猜想：EF=BE+CF，证明如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴∠ABO=∠EOB，
∴BE=OE，
同理：OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
探究二：
C_△AEF=AE+EF+AF
=AE+（EO+OF）+FC
=（AE+BE）+（AF+CF）
=AB+AC
=8+6
=14；
探究三：关系是BE=EF+FC，证明如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，
∴BE=OE，
同理：OF=CF，
∴BE=EO=EF+FO=EF+FC．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，结合平行得到BE=EO，CF=OF是解题的关键．