Question

9．已知：P是正方形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：DP=EF．
（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结PB，由正方形的性质得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后证明四边形BFPE是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP=EF，从而等量代换可证得问题的答案；
（2）延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．由（1）可知△CBP≌△CDP，依据全等三角形对应角相等可得到∠CDP=∠CBP，由四边形EPFB是矩形可证明∠CBP=∠FEP，从而得到∠HDP=∠FEP，由∠DPH+∠PDH=90°可证明∠EPG+∠PEG=90°，从而可得到问题答案．

解答 证明：（1）如图1所示：连结PB．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四边形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．
（2）DP⊥EF．
理由：如图2所示：延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．

∵△CBP≌△CDP，
∴∠CDP=∠CBP．
∵四边形BFPE是矩形，
∴∠CBP=∠FEP．
∴∠CDP=∠FEP．
又∵∠EPG=∠DPH．
∴∠EGP=∠DHP．
∵PE⊥AB，AB∥DC
∴PH⊥DC．即∠DHP=90°．
∴∠EGP=∠DHP=90°
∴PG⊥EF，即DP⊥EF．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得∠CDP=∠FEP是解题的关键．