Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE．
（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；
（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）根据圆周角定理即可证得BD是外接圆的直径，则作出BD的中点就是圆的圆心，连接OE，证明OE⊥AC即可证得AC是切线；
（2）设BC于圆交于点F，连接DF，OF．则四边形CFME即可证得是矩形，在直角△OFM中，利用勾股定理即可得到一个关于半径的方程，求得半径的长，从而求得圆的面积．

解答：（1）证明：作BD的中点O，连接OE．
∵DE⊥BE，
∴BD是圆的直径．
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠BEO=90°，即∠CEO=90°．
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圆的切线；

（2）解：设BC于圆交于点F，连接DF，OF．
∵CE是圆的切线，
∴CE²=CF•CB
∴CF=

CE2

CB

=

1

2

．
∵BD是圆的直径，
∴∠BFD=90°，
∴DF∥AC，
∵OE⊥AC，
∴OE⊥DF，
∴四边形CFME是矩形．
∴MF=CE，ME=CF=

1

2

，
设圆的半径是x，则在直角△OMF中，OF=x，OM=x-

1

2

．
∵OF²=MF²+OM²，
∴x2=（x-

1

2

）²+1，
解得：x=

5

4

．
∴圆的面积是：π（

5

4

）²=

25π

16

．

点评：本题考查了圆的切线的判定，以及圆周角定理，正确作出辅助线，证明四边形CFME是矩形是关键．