如图.在平面直角坐标系中.边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合.现将△CDE绕边AB的中点G.按顺时针方向旋转180°到△C′DE的位置．(1)求C′点的坐标,(2)求经过三点O.A.C′的抛物线的解析式,(3)如图③.⊙G是以AB为直径的圆.过B点作⊙G的切线与x轴交于点F.求切线BF的解析式,的条件下.直线BF与抛物线交于M.N两点.P是MN上的动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G（G也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′DE的位置．
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C′的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴交于点F，求切线BF的解析式；
（4）在（3）的条件下，直线BF与抛物线交于M、N两点，P是MN上的动点，过P作x轴的垂线交抛物线于Q，求PQ的最大长度．

分析（1）利用等边三角形的性质，可以求出．
（2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．
（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F，B的坐标即可求出解析式．
（4）设出点P坐标得出点Q坐标，从而得出PQ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17\sqrt{3}}{12}$，

解答（1）如图②，

过点B作BH⊥OA，
∵等边三角形OAB的边长为2，
∴BH=$\sqrt{3}$，OH=1，
由旋转得，BC=OA=2，
∴C'（3，$\sqrt{3}$）；

（2）∵抛物线过原点O（0，0），设抛物线解析式为y=ax²+bx，
把A（2，0），C′（3，$\sqrt{3}$）代入，得，$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=0}\\{9a+3b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x；

（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°，
又∵AB=2，
∴AF=4，
∴OF=2，
∴F（-2，0），
设直线BF的解析式为y=kx+b'，
把B（1，$\sqrt{3}$），F（-2，0）代入，得，$\left\{\begin{array}{l}{k+b'=\sqrt{3}}\\{-2k+b'=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b'=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直线BF的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（4）如图③，

过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于Q，
由（3）知，直线BF的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$①；
设P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m），
∴PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17\sqrt{3}}{12}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PQ最大=$\frac{17\sqrt{3}}{12}$．