小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题:“如图(1).在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED=EC.试确定线段AE与DB的大小关系.并说明理由．小敏与小颖讨论后.进行了如下解答:(1)取特殊情况.探索讨论:当点E为AB的中点时.如图(2).确定线段AE与DB的大小关系.请你写出结论:AE=DB.并说明理由．(2)特例启发.解答题目:解:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：

（1）取特殊情况，探索讨论：当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出图形，并直接写出结果）．

分析（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分两种情况：点E在AB上和在BA的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到．

解答解：（1）AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB；
故答案为：=；
（2）如图3，∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB；
∴∠EFC=∠DBE=120°；
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC与△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}&{\;}\\{∠EFC=∠DBE}&{\;}\\{EC=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB；
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE=BD．
（3）①如图4，当点E在AB的延长线上时，
过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F；
则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF；
∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE；
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC；而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF；
在△FEC和△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}&{\;}\\{∠EFC=∠DBE}&{\;}\\{EC=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=BD；
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
②如图5，当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F；
类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2-1=1．