Question

15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为$\frac{1}{3}$
（1）求证：△BDF∽△DCF；
（2）求cos∠F的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；
（2）先判断出BD=3CD，进而判断出CF=$\frac{1}{2}$BC，CE=$\frac{1}{6}$BC，即可得出CF=3CE，用勾股定理即可得出EF=$\sqrt{10}$CE，即可．

解答 解：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠B=∠FDC，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF；
（2）由（1）知，△BDF∽△DCF，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{DF}$，
在Rt△BCD中，∠B的正切值为$\frac{1}{3}$，
∴BD=3CD，
∴BF=3CF，
∵BF=BC+CF，
∴BC=2CF，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC
在Rt△ABC中，tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴AC=$\frac{1}{3}$BC，
∵点E是AC中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{6}$BC，
∴CF=3CE，
在Rt△CEF中，CF=3CE，
∴EF=$\sqrt{C{F}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$CE，
∴cosF=$\frac{CE}{EF}=\frac{CE}{\sqrt{10}CE}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式．