题目内容

如图，已知一个等腰三角形纸片ABC，其中BC=6，AB=AC=5，M为AB上一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h．
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，
①把y用x表示出来；
②x为何值时，y最大，最大值为多少？
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）过A作AF⊥BC，交BC于点F，交MN于点E，利用勾股定理可求得AF，且△AMN∽△ABC，利用对应高的比等于相似比可找到h和x的关系；
（2）①当M为AB中点即MN为△ABC的中位线时，可求得MN=3，所以当0＜x≤3时可知重叠部分恰好为△AMN的面积，可利用（1）中的高表示出面积；当3＜x＜6时，其重叠部分为一梯形，利用相似比可用x表示出该梯形的底和高，进一步表示出其面积即可；
②利用①中求出的函数关系式，求出两部分的最大值进行比较即可得出y的最大值．
解答：解：（1）如图1，过A作AF⊥BC于F，交MN于E，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BF=3，可求得AF=4，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，且AE⊥MN，即AE=h，
∴
AE
AF
MN
BC
，即
h
4
=
x
6
，
∴h=
2
3
x；
（2）①当M、N为AB、AC的中点时，可知MN=
1
2
BC=3，
当0＜x≤3时，如图2，

则y=S△A1MN=S△AMN=
1
2
MN•h=
1
2
x×
2
3
x=
1
3
x2；
当3＜x＜6时，如图3，设△A1MN交BC于G、H两点，

则y=S梯形GHNM，
由题意可知A1E=AE=h，
∴A1F=A1A-AF=2h-4，且△A1GH∽△A1MN，
∴
A1F
A1E
=
GH
MN
，即
2h-4
h
=
GH
x
，且h=
2
3
x，
∴
4
3
x-4
2
3
x
=
GH
x
，解得GH=2x-6，且EF=4-h=4-
2
3
x，
∴y=
1
2
（GH+MN）•EF=
1
2
（2x-6+x）（4-
2
3
x）=-x2+8x-12，
综上可知y=
1
3
x2(0＜x≤3)
-x2+8x-12(3＜x＜6)
；
②当0＜x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=3时，ymax=3，
当3＜x＜6时，y=-（x-4）2+4，
∴当x=4时，ymax=4，
综上可知当x=4时y有最大值，最大值为4．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用，在（1）中利用相似得到对应线段成比例得到关于x和h的式子是解题的关键，在（2）中分两种情况讨论，其中求得梯形的底和高是关键．本题目考查的知识点比较多，运算量也比较大，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AD=6
3
，BC=4
3
，解这个直角三角形．
已知∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，试判断∠β与
1
2
（∠α-∠β）的关系．
解方程：
3
x=
12
-
15
．
已知，如图AD∥CE∥BF，求证：
1
AD
+
1
BF
=
1
CE
．
已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C、D的坐标分别为A（9，0）、C（0，4）、D（5，0），点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O、C、B、A运动，点P的运动时间为t秒．
（1）当t=2时，求直线PD的函数解析式；
（2）当t＞4时，OP+PD有最小值吗？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当t为何值时，△ODP的腰长为5的等腰三角形？
如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）
A、30B、50C、60D、80
抛物线y=x2-3x+2不经过第几象限（　　）
A、一B、二C、三D、四
如图，已知AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，应添加条件是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网