Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）利用菱形的性质、勾股定理求得菱形ADCE的对角线的长度，然后根据菱形的面积=$\frac{1}{2}$DE•AC解答即可．

解答 证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
又∵AE∥CD，CE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
∵平行四边形ADCE是菱形，
∴CO=OA，
又∵BD=DA，
∴DO是△ABC的中位线，
∴BC=2DO．
又∵DE=2DO，
∴BC=DE=6，
∴S_菱形ADCE=$\frac{DE•AC}{2}$=$\frac{6×8}{2}$=24．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，注意菱形与平行四边形间的联系与区别．