Question

11．如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB 于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=4$\sqrt{2}$，OE=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠BCO=∠B，根据圆周角定理证明即可；
（2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OCE中，OC²=CE²+OE²，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，
∴r²=（2$\sqrt{2}$）²+（r-2）²，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．

点评 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．