Question

16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．
（1）求证：AE=ED；
（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）感觉平行线的性质和角平分线的定义即刻得到结论；
（2）根据线段的垂直平分线的性质证明FA=FD，得到∠FAD=∠FDA，根据三角形外角的性质得到∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，根据等量代换得到答案．

解答 证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；
（2）∠B=∠CAF，
证明：∵AE=ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，
∴∠B=∠CAF．

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．