Question

1．已知x₁和x₂是方程（k² -1）x²-6（3k-1）x+72=0的两个正根，且（x₁-1）（x₂-1）=4，求k的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$，则（x₁-1）（x₂-1）=4得到x₁x₂-（x₁+x₂）+1=4，即$\frac{72}{{k}^{2}-1}$-$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$+1=4，解得k₁=-9，k₂=3，然后利用x₁和x₂是两个正根可判断k=3．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$，
∵（x₁-1）（x₂-1）=4，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=4，
∴$\frac{72}{{k}^{2}-1}$-$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$+1=4，
整理得k²+6k-27=0，解得k₁=-9，k₂=3，
经检验k₁=-9，k₂=3是分式方程的解，
∵x₁和x₂是两个正根，
∴x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$＞0，x₁x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$＞0，
∴k的值为3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了解分式方程．