Question

在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分别是线段AC、线段BC上的动点，使得△MON的面积最大时，周长最短，则点M的坐标为

 

．

Answer 1

考点：直角梯形,坐标与图形性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=

1

2

MP•QG+

1

2

MP•NG=

1

2

MP•QN，因为QN取得最大值是OB时，△MON的面积最大值=

1

2

OA•OB，设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时AM=3，从而求得M的坐标（3，4）．

解答：解：如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=

1

2

MP•QG+

1

2

MP•NG=

1

2

MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴当点N与点B重合，QN取得最大值OB时，△MON的面积最大值=

1

2

OA•OB，
设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，
此时△MON的面积最大，周长最短，
∵

AD

OD

=

AM

OM

，即

4

8

=

AM

6

，
∴AM=3，
∴M（，3，4）．

点评：本题考查了直角梯形的性质，坐标和图形的性质，轴对称的性质等，作出辅助线是本题的关键．