Question

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t=6.5s时，四边形APQB为矩形；
（2）若PQ=CD，求t的值；
（3）当AB=8$\sqrt{5}$cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26-2t，解此方程即可求得答案．
（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24-t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案；
（3）由菱形的性质得出CD=CQ=PD，得出24-t=3t，解得：t=6，得出CD=CQ=18，作DM⊥BC于M，则AB=DM，BM=AD=24，得出CM=BC-BM=2，在Rt△CDM中，由勾股定理求出DM，即可得出答案．

解答 解：（1）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，
∴DP=AD-AP=24-t（cm），BQ=26-3t（cm），
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=6.5，
即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形；
故答案为：6.5；

（2）若PQ=CD，分两种情况：
①PQ=DC，由（1）可知，t=6，
②PQ≠CC，由QC=PD+2（BC-AD），
可得方程：3t=24-t+4，
解得：t=7．

（3）若四边形PQCD为菱形，则CD=CQ=PD，
∴24-t=3t，解得：t=6，
∴CD=CQ=18，
作DM⊥BC于M，如图所示：
则AB=DM，BM=AD=24，
∴CM=BC-BM=2，
在Rt△CDM中，DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}-{2}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∴AB=8$\sqrt{5}$，即AB=8$\sqrt{5}$cm，
在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．
故答案为：8$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定形的判定．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键．