Question

在△ABC中，若BC＞BA，AD、CE是两条高，求证：BC+AD＞AB+CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：证明题

分析：在BC上取点F，使BF=AB，过F作FQ⊥AB于Q，FM⊥CE于M，求出四边形EQFM是矩形，推出EM=FQ，证△BFQ≌△BAD，推出AD=FQ=EM，求出BC+AD=BF+FC+AD=AB+EM+FC，AB+CE=AB+EM+CM，根据在Rt△FMC中，∠FMC=90°得出CF＞CM，即可得出答案．

解答：证明：
在BC上取点F，使BF=AB，过F作FQ⊥AB于Q，FM⊥CE于M，
∵CE⊥AB，
∴∠MEQ=∠EQF=∠FME=90°，
∴四边形EQFM是矩形，
∴EM=FQ，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠FQB=90°，
在△BFQ和△BAD中

∠BQF=∠BDA ∠B=∠B BF=AB

∴△BFQ≌△BAD（AAS），
∴AD=FQ=EM，
∴BC+AD=BF+FC+AD=AB+EM+FC，AB+CE=AB+EM+CM，
∵在Rt△FMC中，∠FMC=90°，
∴CF＞CM，
∴BC+AD＞AB+CE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．