Question

3．已知：关于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m＞3）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且x₁＜x₂；
①求方程的两个实数根x₁，x₂（用含m的代数式表示）；
②若mx₁＜8-4x₂，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m-3）²，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）②由求根公式得到x=1，或x=$\frac{2m-3}{m}$，即可得到结论；②根据mx₁＜8-4x₂，即可得到 结果．

解答 （1）证明：∵mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，
∴△=[（-3（m-1）]²-4m（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²，
∵m＞3，
∴（m-3）²＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）①由求根公式得x=$\frac{3（m-1）±（m-3）}{2m}$，
∴x=1，或x=$\frac{2m-3}{m}$，
当x₁=1，x₂=2-$\frac{3}{m}$，
则mx₁＜8-4x₂，
即m＜8-8+$\frac{12}{m}$，
∴3＜m＜2√3
当x₁=2-$\frac{3}{m}$，x₂=1，
则2m-3＜4，
∴3＜m＜$\frac{7}{2}$
综上所述，3＜m＜$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．