科研所计划建一幢宿舍楼.因为科研所实验中会产生辐射.所以需要有两项配套工程:①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路,②对宿舍楼进行防辐射处理.已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y=a$\sqrt{x}$+b．当科研所到宿舍楼的距离为1km时.防辐射费用为720万元,当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的关系式为y=a$\sqrt{x}$+b（0≤x≤9）．当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理．设每公里修路的费用为m万元，配套工程费w=防辐射费+修路费．
（1）当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=0万元，a=-360，b=1080；
（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？
（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，求每公里修路费用m万元的最大值．

分析（1）当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，所以当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=0万元，根据题意得方程组，即可求出a，b的值；
（2）科研所到宿舍楼的距离为xkm，配套工程费为w元，分两种情况：①当x＜9时，w=-360$\sqrt{x}$+1080+90x=90$（\sqrt{x}-2）^{2}$+720，②当x≥9时，w=90x，分别求出最小值，即可解答；
（3）根据配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km，列出不等式组，即可解答．

解答解：（1）∵当科研所到宿舍楼的距离为9km或大于9km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，
∴当科研所到宿舍楼的距离x=9km时，防辐射费y=0万元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=720}\\{3a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-360}\\{b=1080}\end{array}\right.$，
故答案为：0，-360，1080．
（2）科研所到宿舍楼的距离为xkm，配套工程费为w元，
①当x＜9时，w=-360$\sqrt{x}$+1080+90x=90$（\sqrt{x}-2）^{2}$+720，
当$\sqrt{x}-2$=0时，即x=4，w有最小值，最小值为720万元；
②当x≥9时，w=90x，
当x=9时，w有最小值，最小值为810万元，
∴当x=4时，w有最小值，最小值为720万元；
即当科研所到宿舍楼的距离4km时，配套工程费最少．
（3）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{mx-360\sqrt{x}+1080≤675①}\\{x＜9②}\end{array}\right.$，
由①得：$m（\sqrt{x}）^{2}-360\sqrt{x}+1080≤675$，
由②得：$\sqrt{x}＜3$，
∴$\sqrt{x}=-\frac{b}{2a}=\frac{180}{m}＜3$，
w=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=\frac{4320m-（-360）^{2}}{4m}≤675$，
∴60＜m≤80，
∴每公里修路费用m万元的最大值为80．