Question

如图，已知一次函数y=

4

3

x+m的图象与x轴交于点A（-6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由；
（3）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将A坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，令x=0求出y的值，即可确定出B的坐标；
（2）存在，理由为；设C（c，0），表示出OC长，根据A坐标表示出AC的长，由三角形ABC面积以AC为底，OB为高，根据已知面积求出AC的长，确定出C坐标即可；
（3）设过D的直线与直线AB交于点E，过点E作EF⊥y轴，交y轴于点F，求出三角形AOB面积，由直线DE将三角形AOB面积分为相等的两部分，得到三角形BDE面积为三角形AOB面积的一半，求出EF的长，确定出E横坐标，代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出E坐标，设直线DE解析式为y=dx+e，将E与D坐标代入求出d与e的值，即可确定出直线DE解析式．

解答：解：（1）将A（-6，0）代入一次函数解析式y=

4

3

x+m得：0=-8+m，
解得m=8，
故一次函数解析式为y=

4

3

x+8，
令x=0，得到y=8，
则m=8，
B（0，8）；
（2）存在，理由为：
设C（c，0），即OC=|c|，
∵A（-6，0），
∴AC=|-6-c|，
∵S_△ABC=16，即

1

2

AC•OB=16，
∴

1

2

|-6-c|•8=16，即|-6-c|=4，
整理得：-6-c=4或-6-c=-4，
解得：c=-2或c=-10，
则C点坐标为（-10，0）或（-2，0）；
（3）设过D的直线与直线AB交于点E，过点E作EF⊥y轴，交y轴于点F，
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=24，直线DE将△AOB分成面积相等的两部分，
∴S_△BED=

1

2

S_△ABC=12，即

1

2

BD•EF=12，
∵BD=OB-OD=8-2=6，
∴EF=4，
将x=-4代入y=

4

3

x+8中，得：y=

8

3

，
∴E（-4，

8

3

），
设直线DE解析式为y=dx+e，
将D（0，2）和E（-4，

8

3

）代入得：

e=2 -4d+e= 8 3

，
解得：

d=- 1 6 e=2

．
则直线DE解析式为y=-

1

6

x+2．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．