Question

3．如图，正方形ABCD的边长为a，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画弧，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 如图所示，设图中各部分面积分别为x，y，z，由题意可知图中三角形为等边三角形，利用扇形的面积，三角形面积公式，正方形面积公式可得关于x，y，z的方程组，解得z即为所求阴影部分的面积．

解答 解：如图所示，设图中各部分面积分别为x，y，z，
由题意得：4x+4y+z=a²   ①，
2x+y=a²-$\frac{π}{4}a$² ②，
3x+2y=a²-（2•$\frac{π}{6}$a²-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}a$×a）  ③，
③-②得，x+y=$\frac{3\sqrt{3}-π}{12}$a²   ④，
将④代入①得z=$\frac{3+π-3\sqrt{3}}{3}$a²．

点评 本题主要考查了等边三角形和扇形的面积及不规则图形面积的计算，数形结合，利用规则图形的面积计算不规则图形的面积是解答此题的关键．