Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+b分别交x，y轴于点A、C，抛物线y=ax²+x+4经过A、C两点，交x轴于另外一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第一象限内抛物线上，连接PB、PC，作平行四边形PBDC，DE⊥y轴于点E，设点P 的横坐标为t，线段DE的长度为d，求d与t之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，延长BD交直线AC与点F，连接OF，若∠AFO=∠BFO，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设P（t，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），D（x，y）．根据平行四边形的性质对角线互相平分，利用中点坐标公式，列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．先求出点N的坐标，求出直线NB的解析式，再求出直线PC的解析式，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=ax²+x+4，令x=0，得y=4，
∴C（0，4），把C（0，4），代入y=2x+b中，得b=4，
∴直线解析式为y=2x+4，令Y=0，得x=-2，
∴A（-2，0），把A（-2，0）代入y=ax²+x+4，得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（2）如图1中，设P（t，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），D（x，y）．

∵C（0，4），B（4，0），四边形CPBD是平行四边形，
∴$\frac{t+x}{2}$=$\frac{0+4}{2}$，x=4-t，
∴d=DE=x=4-t（0＜t＜4）．

（3）如图2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．

∵∠OFA=∠OFB，OM⊥FC，ON⊥FB，
∴OM=ON，
∵$\frac{1}{2}$•OA•OC=$\frac{1}{2}$•AC•OM，OA=2，OC=4，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴ON=OM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵BN=$\sqrt{O{B}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{16}{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•ON•BN=$\frac{1}{2}$•OB•EN，
∴EN=$\frac{2}{5}$，OE=$\sqrt{O{N}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴N（$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$），
设直线BN的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{\frac{1}{5}k+b=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{19}}\\{b=-\frac{8}{19}}\end{array}\right.$，
∵PC∥BN，
∴直线PC的解析式为y=$\frac{2}{19}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{19}x+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{34}{19}}\\{y=\frac{1512}{361}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\frac{34}{19}$，$\frac{1512}{361}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用面积分求线段的长，学会用转化的思想思考问题，求出点N的坐标是本题的突破点，属于中考压轴题．