Question

9．教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x²+2x-3=（x²+2x+1）-4=（x+1）²-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；例如求代数式2x²+4x-6的最小值.2x²+4x-6=2（x²+2x-3）=2（x+1）²-8．可知当x=-1时，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m²-4m-5=（m+1）（m-5）．
（2）当a，b为何值时，多项式a²+b²-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a²-2ab+2b²-2a-4b+27有最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）根据阅读材料，先将m²-4m-5变形为m²-4m+4-9，再根据完全平方公式写成（m-2）²-9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a²+b²-4a+6b+18转化为（a-2）²+（b+3）²+5，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a²-2ab+2b²-2a-4b+27转化为（a-b-1）²+（b-3）²+17，然后利用非负数的性质进行解答．

解答 解：（1）m²-4m-5
=m²-4m+4-9
=（m-2）²-9
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5）．
故答案为（m+1）（m-5）；

（2）∵a²+b²-4a+6b+18=（a-2）²+（b+3）²+5，
∴当a=2，b=-3时，多项式a²+b²-4a+6b+18有最小值5；

（3）∵a²-2ab+2b²-2a-4b+27
=a²-2a（b+1）+（b+1）²+（b-3）²+17
=（a-b-1）²+（b-3）²+17，
∴当a=4，b=3时，多项式a²-2ab+2b²-2a-4b+27有最小值17．

点评 本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．