Question

14．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+1交y轴于A点，交x轴于B点，将Rt△AOB绕O点逆时针旋转90°，得到Rt△COD，直线AB交直线CD于E点．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求证：OE平分∠BEC；
（3）在第一象限内，是否存在点F，使以E，O，F为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由旋转的性质得出OC=OA=1，OD=OB=2，进而得出C（-1，0），D（0，2），最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出∠BEC=90°，进而求出∠BEO=45°，即可得出结论；
（3）分三种情况，讨论利用等腰直角三角形的性质列方程计算即可得出结论．

解答 解（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+1交y轴于A点，交x轴于B点，
∴A（0，1），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
由旋转知，OC=OA=1，OD=OB=2，
∴C（-1，0），D（0，2），
∴直线CD解析式为y=2x+2，
（2）如图，由（1）知，直线CD解析式为y=2x+2①，
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1②，
∴AB⊥CD，
∴∠BEC=90°，
联立①②得，E（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$），
过点O作OF⊥AB，
∴CD∥OF，
∴直线OF的解析式为y=2x③，
联立②③得，F（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），OF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵E（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OF=EF，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE平分∠BEC，
（3）如图1，由（2）知，E（-$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴直线OE的解析式为y=-3x，
∵以E，O，F为顶点的三角形为等腰直角三角形，
∴①点F是直角顶点，
∴∠EFO=90°，由（2）知，点F（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），
②点O是直角顶点，
∴∠EOF1=90°，
由（2）知，∠BEO=45°，
∴点F₁在直线AB上，
∵直线OE的解析式为y=2x，
∴直线OF₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$x④，
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1⑤，
联立④⑤得，F₁（$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$），
③点E为直角顶点时，∠OEF2=90°，点F是线段OF₂的中点，
∴F₂（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∴满足条件的点F的坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），（$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$），（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，旋转的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是用待定系数法得出函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．