Question

11．如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x²+mx+n=0 （n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求a+b的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

Answer 1

分析 （1）设关于x的方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，则有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m．且由已知所求方程的两根为$\frac{1}{{x}_{1}}$、$\frac{1}{{x}_{2}}$．继而根据$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$、$\frac{1}{{x}_{1}}•$$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$即可得；
（2）根据题意知a、b可看做方程x²-15x-5=0的两根，由韦达定理可得；
（3）由已知可得a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，即a，b可视为方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的两根，由根的判别式可得关于c的不等式，解之可得．

解答 解：（1）设关于x的方程x²+mx+n=0的两根为x₁、x₂，则有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=n，且由已知所求方程的两根为$\frac{1}{{x}_{1}}$、$\frac{1}{{x}_{2}}$．
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$．$\frac{1}{{x}_{1}}•$$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，
∴所求方程为x²+$\frac{m}{n}$x+$\frac{1}{n}$=0，即nx²+mx+1=0（n≠0）；

（2）∵a、b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
则a、b可看做方程x²-15x-5=0的两根，
∴a+b=15；

（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，
∴a，b可视为方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的两根，
∴△=c²-$\frac{64}{c}$≥0，
∵要c为整数
∴c³-64≥0，
（c-4）（c²+4c+4²）≥0，
∵c²+4c+4²=（c+2）²+12＞0
∴c≥4，
∴正数c的最小值为4．

点评 本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．