Question

2011年下半年国务院针对楼市出台了有关的新政策，多数购房者持币观望．某楼盘2011年销售面积y（m²）与月份x（1≤x≤12，且x取正整数）之间的关系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
销售面积 y（m2）	2400	1200	800	600	480	400	400	400	400	400	400	400

该楼盘的上半年的销售额z₁（万元）与月份x（1≤x≤6，且x取正整数）之间满足函数关系：z₁=-240x+1440；下半年的销售额z₂（万元）与月份x（7≤x≤12，且x取正整数）之间满足函数关系：z2=-4x2+bx+c，其中第8个月销售额为184万元，第10个月销售额为120万元．
（1）请观察题中的表格，用你所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求出销售面积y（m²）与月份x（1≤x≤12，且x取正整数）之间的函数关系式？并直接写出下半年的销售额z₂（万元）与月份x（7≤x≤12，且x取正整数）之间的函数关系式？
（2）设该楼盘的房价为w（元/m²），求出在2011年该楼盘在第几个月的房价最高？最高价是多少？
（3）今年1月开始房价上涨，该楼盘的房价比去年的最高房价增加a%，销售面积与去年12月份持平；2月份的房价比1月份的房价增加1700元，销售面积比1月份增加0.25a%，2月份的销售额比去年最高房价时的销售额至少增加85万元，求a的最小整数值？
（参考数据：

66

≈8.12，

67

≈8.19，

69

≈8.31）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：销售问题,待定系数法

分析：（1）通过观察图象可以得出在1≤x≤6，且x取正整数时，y与x之间成反比例函数关系，在7≤x≤12，且x取正整数时销售面积是常数400，根据条件运用待定系数法就可以求出z₂与x之间的关系式；
（2）根据单价=销售额÷销售面积就可以表示出w，再根据二次函数的性质就可以求出结论；
（3）根据（2）的结论表示出今年1月份的房价0.9（1+a%），2月份的房价为0.9（1+a%）+0.17，销售面积为400（1+0.25a%），从而可以求出2月的销售额，由（2）求出去年3月的销售额为-240×3+1440=720万元，再根据相等关系建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）由题意得：y与x之间的函数关系式为
y=

2400 x (1≤x≤6) 400(7≤x≤12)

，
∵z2=-4x2+bx+c，其中第8个月销售额为184万元，第10个月销售额为120万元，
∴

184=-4×64+8b+c 120=-4×100+10b+c

，
解得：

b=40 c=120

，
∴销售额z₂（万元）与月份x（7≤x≤12，且x取正整数）之间的函数关系式为：
z₂=-4x²+40x+120；
（2）由题意，得，
当1≤x≤6，且x取正整数时，
w₁=

z1

y1

=

-240x+1440

2400 x

，
=-

1

10

（x-3）²+

9

10

，
∵a=-

1

10

＜0，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
∴当x=3时，w_最大=0.9，
当7≤x≤12，且x取正整数时，
w₂=

z2

y2

=

-4x2+40x+120

400

，
=-

1

100

（x-5）²+

11

20

，
∵a=-

1

100

＜0，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
∴抛物线的对称轴是x=5，在对称轴的右侧w随x的增大而减小，
∵7≤x≤12，且x取正整数，
∴x=7时，w_最大=0.51万元，
综上所述，第3个月时，房价最高，最高房价为0.9万元/平方米；
（3）由题意，得
今年1月份的房价为：0.9（1+a%）万元，
今年2月份的房价为：0.9（1+a%）+0.17，
今年2月份的销售面积为：400（1+0.25a%），
去年3月的销售额为：-240×3+1440=720万元，
∴[0.9（1+a%）+0.17]•400（1+0.25a%）-720=85，
设a%=m，则
∴[0.9（1+m）+0.17]•400（1+0.25m）-720=85，
整理得：90m²+467m-377=0
m=

-467± 4672-4×90×(-377)

180

=

-467± 353809

180

=

-467±594.818

180

解得：m₁=0.71，m₂=-5.899（舍去），
∴0.71=a%，且a为整数，
∴a=71．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的运用，二次函数的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出相应的解析式是解答本题的关键，根据解析式建立一元二次方程求出其a的值是难点．