Question

3．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和一边上的高的比为（　　）

• A． 1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• B． 1：$\sqrt{3}$：2
• C． 1：2：3
• D． 1：2：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得：R=2r；等边三角形的高是R与r的和，所以r：R：h的值为1：2：3．

解答 解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
设OE=r，AO=R，AD=h，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在Rt△AOE中，
∴R=2r，
OD=OE=r，
∴AD=AO+OD=2r+r=3r，
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3，
故选C．

点评 本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系，等边三角形的内心与外心重合，是三条角平分线的交点；由等腰三角形三线合一的特殊性得出30°角和60°，利用直角三角形30°的性质或三角函数得出R、r、h的关系．