Question

8．已知：如图，△ABC的∠A=60°，∠ACB=90°，BC=3，点O在BC上，且OC=1，以O为圆心，OC的半径作⊙O．
（1）试判断⊙O与AB之间的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）过O作OD⊥AB，判断出OD=OC即可得出结论；
（2）阴影部分面积等于三角形面积减去扇形面积即可．

解答 解：（1）AB是⊙O的切线，
理由：如图，
过点O作OD⊥AB，
在Rt△ABC中，∠A=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BOD中，OB=BC-OC=3-1=2，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=1
∵OD⊥AB，
∴AB切⊙O于D，
（2）在Rt△BOD中，OB=2，OD=1，∠B=30°
∴BD=$\sqrt{3}$，∠BOD=60°
∴S_阴影=S_△BOD-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$×BD×OD-$\frac{60π×1}{360}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1-$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}$．

点评 此题是直线和圆的位置关系，主要考查了切线的判定，三角形的面积和扇形的面积公式，熟记三角形和扇形面积计算方法是解本题的关键．