题目内容
如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t=
考点：一元二次方程的应用
专题：几何动点问题
分析：（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵CQ=1cm，AP=2cm，
∴AB=6-2=4cm．
∴S=
=5cm2．
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6-2t-t=6-3t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6-3t）2+4=9，
解得：t=
．
如图2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm，BP=CE=6-2t．
∵CQ=t，
∴QE=t-（6-2t）=3t-6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t-6）2+4=9，
解得：t=
．
综上所述：t=
或
；
（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6-2t-t=6-3t．DQ=6-t．
∵PQ=DQ，
∴PQ=6-t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6-3t）2+4=（6-t）2，
解得：t=
．
如图4，当PD=PQ时，
作PE⊥DQ于E，
∴DE=QE=
DQ，∠PED=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm．
∵DQ=6-t，
∴DE=
．
∴2t=
，
解得：t=
；
如图5，当PD=QD时，
∵AP=2t，CQ=t，
∴DQ=6-t，
∴PD=6-t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2=（6-t）2，
解得t1=
，t2=
（舍去）．
综上所述：t=
，
，
，
．
故答案为：
，
，
，
．
∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵CQ=1cm，AP=2cm，
∴AB=6-2=4cm．
∴S=
| 2(1+4) |
| 2 |
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6-2t-t=6-3t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6-3t）2+4=9，
解得：t=
6±
| ||
| 3 |
如图2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm，BP=CE=6-2t．
∵CQ=t，
∴QE=t-（6-2t）=3t-6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t-6）2+4=9，
解得：t=
6±
| ||
| 3 |
综上所述：t=
6-
| ||
| 3 |
6+
| ||
| 3 |
（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6-2t-t=6-3t．DQ=6-t．
∵PQ=DQ，
∴PQ=6-t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6-3t）2+4=（6-t）2，
解得：t=
3±
| ||
| 2 |
如图4，当PD=PQ时，
作PE⊥DQ于E，
∴DE=QE=
| 1 |
| 2 |
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm．
∵DQ=6-t，
∴DE=
| 6-t |
| 2 |
∴2t=
| 6-t |
| 2 |
解得：t=
| 6 |
| 5 |
如图5，当PD=QD时，
∵AP=2t，CQ=t，
∴DQ=6-t，
∴PD=6-t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2=（6-t）2，
解得t1=
-6+2
| ||
| 3 |
-6-2
| ||
| 3 |
综上所述：t=
3+
| ||
| 2 |
3-
| ||
| 2 |
| 6 |
| 5 |
-6+2
| ||
| 3 |
故答案为：
3+
| ||
| 2 |
3-
| ||
| 2 |
| 6 |
| 5 |
-6+2
| ||
| 3 |
点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
练习册系列答案
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