题目内容

如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°，AC⊥PC于点C，P、A两点相距 $数学公式$ 米．请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题．
（1）求水平距离PC的长；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A．

解：（1）依题意得：∠ACP=90°，∠APC=30°，PA=8 $\text{[math]}$ ，
∵cos∠APC= $\text{[math]}$ ，
∴PC=8 $\text{[math]}$ ，
∴PC的长为12m．
（2）以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为y=a（x-9）²+12，
将点P（O）的坐标代入可得：0=a（0-9）²+12，求得 $\text{[math]}$ ，
故抛物线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ ．
（3）由（1）知点C的坐标为（12，0），易求得 $\text{[math]}$ ，
即可得点A的坐标为（12，4 $\text{[math]}$ ），
当x=12时， $\text{[math]}$ ，
故小明不能一杆把高尔夫球从P点直接打入球洞A．
分析：（1）在Rt△PAC中，利用三角函数的知识即可求出PC的长度．
（2）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；
（3）把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．
点评：本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．