Question

5．定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．
如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．
已知a₁=-$\frac{1}{3}$，
（1）a₂是a₁的差倒数，则a₂=$\frac{3}{4}$；
（2）a₃是a₂的差倒数，则a₃=4；
（3）a₄是a₃的差倒数，则a₄=-$\frac{1}{3}$，
…
依此类推，则a₂₀₁₃=4．

Answer 1

分析 （1）根据定义由a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$可得；
（2）由a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$可得；
（3）由a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$可得a₄，继而可知数列以-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4三个数依次不断循环出现，据此可得答案．

解答 解：（1）根据题意，知a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$；

（2）a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
故答案为：4；

（3）a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
因此数列以-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4三个数依次不断循环出现．
∴2013÷3=671，
∴a₂₀₁₃=a₃=4，
故答案为：-$\frac{1}{3}$，4．

点评 本题主要考查数字的变化规律；得到相应的数据及变化规律是解决本题的关键．