Question

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），且OC=OB，tan∠ACO=$\frac{1}{4}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，-4），然后可求得直线AD的解析式y=-x-1，故∠BAD=45°，接下来证明△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a²-3a-4），M（-a-1），则PM=-a²+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长=（1+$\sqrt{2}$）PM求解即可；
（3）当∠EGN=90°时，如果$\frac{OA}{OC}=\frac{GN}{EG}$或$\frac{OA}{OC}=\frac{EG}{GN}$，则△AOC∽△EGN，设点G的坐标为（a，0），则N（a，a²-3a-4），则EG=a-1，NG=-a²+3a+4，然后根据题意列方程求解即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠ACO=$\frac{1}{4}$，
∴OC=4．
∴C（0，-4）．
∵OC=OB，
∴OB=4
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）．
∵将x=0，y=-4代入得：-4a=-4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x-4．
（2）∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{-3}{2×1}$=$\frac{3}{2}$，C（0，-4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，-4）．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（-1，0）、D（3，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-1，
∴直线AD的解析式y=-x-1．
∵直线AD的一次项系数k=-1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP=90°．
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$MP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM=（1+$\sqrt{2}$）PM．
设P（a，a²-3a-4），M（-a-1），则PM=-a-1-（a²-3a-4）=-a²+2a+3，
∵PM=-a²+2a+3=-（a-1）²+4，
∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值=4×（1+$\sqrt{2}$）=4+4$\sqrt{2}$．
（3）如图1所示；当∠EGN=90°．

设点G的坐标为（a，0），则N（a，a²-3a-4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{EG}{GN}$时，△AOC∽△EGN．
∴$\frac{a-1}{-{a}^{2}+3a+4}$=$\frac{1}{4}$，整理得：a²+a-8=0．
解得：a=$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$（负值已舍去）．
∴点G的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，0）．
如图2所示：当∠EGN=90°．

设点G的坐标为（a，0），则N（a，a²-3a-4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{GN}{EG}$时，△AOC∽△NGE．
∴$\frac{a-1}{-{a}^{2}+3a+4}$=4，整理得：4a²-11a-17=0．
解得：a=$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$（负值已舍去）．
∴点G的坐标为（$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$，0）．
∵EN在EP的右面，
∴∠NEG＜90°．
如图3所示：当∠ENG′=90°时，

EG′=EG×$\frac{\sqrt{17}}{4}$×$\frac{\sqrt{17}}{4}$=（$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$-1）×$\frac{17}{16}$=$\frac{51+17\sqrt{393}}{128}$．
∴点G′的横坐标=$\frac{179+17\sqrt{393}}{128}$．
∵$\frac{179+17\sqrt{393}}{128}$≈4.03＞4，
∴点G′不在EG上．
故此种情况不成立．
综上所述，点G的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，0）或（$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM的长与a的函数关系式是解题的关键．