Question

6．如图1，点A（a，b）在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．
（1）在点P（1，2），Q（2，-2），N（$\frac{1}{2}$，-1）中，是“垂点”的点为Q；
（2）点 M（-4，m）是第三象限的“垂点”，直接写出m的值-$\frac{4}{3}$；
（3）如果“垂点矩形”的面积是$\frac{16}{3}$，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标（-4，$\frac{4}{3}$）或（-$\frac{4}{3}$，4），；
（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为8．

Answer 1

分析 （1）根据“垂点”的意义直接判断即可得出结论；
（2）根据“垂点”的意义建立方程即可得出结论；
（3）根据“垂点”的意义和矩形的面积建立方程即可得出结论；
（4）先确定出直线EF的解析式，利用“垂点”的意义建立方程，利用非负性即可确定出m的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）∵P（1，2），
∴1+2=3，1×2=2，
∵2≠3，
∴点P不是“垂点”，
∵Q（2，-2），
∴2+2=4，2×2=4，
∴Q是“垂点”． 
∵N（$\frac{1}{2}$，-1），
∴$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{3}{2}≠\frac{1}{2}$，
∴点N不是“垂点”，
故答案为：Q；

（2）∵点 M（-4，m）是第三象限的“垂点”，
∴4+（-m）=4×（-m），
∴m=-$\frac{4}{3}$，
故答案为：-$\frac{4}{3}$；

（3）设“垂点”的坐标为（a，b），
∴-a+b=-ab，
∵“垂点矩形”的面积为$\frac{16}{3}$，
∴-ab=$\frac{16}{3}$．
即：-a+b=-ab=$\frac{16}{3}$，
解得，a=-4，b=$\frac{4}{3}$或a=-$\frac{4}{3}$，b=4，
∴“垂点”的坐标为（-4，$\frac{4}{3}$）或（-$\frac{4}{3}$，4），
故答案为：（-4，$\frac{4}{3}$）或（-$\frac{4}{3}$，4），

（4）解：设点E（m，0）（m＞0），
∵四边形EFGH是正方形，
∴F（0，m），y=-x+m．设边EF上的“垂点”的坐标为（a，-a+m），
∴a+（-a+m）=a（-a+m）
∴a²-am=-m，
∴（a-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{{m}^{2}-4m}{4}$≥0，
∴m²-4m=m（m-4）≥0，
∵m＞0，
∴m-4≥0，
∴m≥4，
∴m的最小值为4，
∴EG的最小值为2m=8，
故答案为8．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的面积公式，理解新定义和应用新定义的能力，解本题的关键是用方程的思想解决问题．