Question

1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设△ABC的面积为s、周长为l．
（1）填表：

a	b	c	a+b-c	$\frac{s}{l}$
3	4	5	2	$\frac{1}{2}$
5	12	13	4	1
8	15	17	6	$\frac{3}{2}$

（2）仔细观察表中你填写的数据反映出来的规律，如果a、b、c为已知的正实数，且设a+b-c=m，那么可猜想$\frac{s}{l}$=$\frac{m}{4}$．（用含m的代数式表示）
（3）证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式求得面积，然后除以周长即可求解；
（2）首先求得每组中m的值，然后根据$\frac{s}{l}$与m的关系判断；
（3）利用勾股定理即可证明结论．

解答 解：（1）a+b-c=3+4-5=2，
5+12-13=4，
8+15-17=6，

a	b	c	a+b-c	$\frac{s}{l}$
3	4	5	2	$\frac{1}{2}$
5	12	13	4	1
8	15	17	6	$\frac{3}{2}$

（2）猜想$\frac{s}{l}$=$\frac{m}{4}$．
故答案是：$\frac{m}{4}$；
（3）∵a+b-c=m，
∴a+b=m+c，
∴a²+b²+2ab=m²+c²+2mc，
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，S=$\frac{1}{2}$ab，
∴2ab=m²+2mc，
∴4S=m（m+2c），
∴4S=ml，即$\frac{s}{l}$=$\frac{m}{4}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式以及勾股定理的应用，正确利用完全平方公式对式子进行变形是关键．